il corso sarà tenuto indicativamente in lingua italiana (è prevista la possibilità di adottare la lingua inglese in base alle esigenze degli studenti iscritti)
Contenuto del corso
1.
Sistemi dinamici in tempo discreto
2.
Dinamiche caotiche
3.
Controllo ottimo su orizzonte infinito ed equazione di Bellman
1.
Robert Devaney: "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems", second edition, Addison Wesley, 1989
2.
Nancy L.Stokey, Robert E.Lucas, with Edward C.Prescott : "Recursive Method in Economics Dynamics", Harvard Univ.Press, 1989
3.
Hans W.Lorenz : "Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion", Springer, 1993
Obiettivi Formativi
Conoscenza dei fondamenti della Teoria dei Sistemi Dinamici Lineari e Non-Lineari in tempo discreto e della Teoria del Controllo Ottimo su orizzonte infinito (equazione di Bellman) con applicazioni a problemi di dinamica economica
Prerequisiti
1.
Elementi di algebra lineare
2.
Elementi di topologia generale negli spazi euclidei
3.
Calcolo differenziale di una e più variabili
Metodi Didattici
Lezioni in aula e attività seminariali
Modalità di verifica apprendimento
Esame finale scritto ed orale
Programma del corso
Il corso è articolato in quattro parti :
- Elementi di teoria dei sistemi dinamici in tempo discreto
- Dinamiche discrete non lineari e caos deterministico
- Introduzione alla programmazione dinamica discreta
- Applicazioni a problemi di economia dinamica
Le tecniche analitiche discusse si riferiscono esclusivamente a sistemi dinamici deterministici o semi-deterministici, e quindi a modelli economici dove gli agenti operano in condizioni di certezza.
PROGRAMMA ESTESO
1. Introduzione ai Sistemi Dinamici
- Sistemi e loro evoluzione nel tempo
- Sistemi deterministici, semideterministici e stocastici
- Spazio delle fasi di un sistema dinamico
- Flusso di un sistema dinamico deterministico o semideterministico
- Gruppi ad un parametro di trasformazioni
- Traiettorie e curve integrali
- Sistemi di dimensione finita ed infinita
- Sistemi dinamici in tempo discreto ed "equazioni alle differenze"
- Dinamiche in tempo discreto del primo ordine
- Dinamiche in tempo discreto di ordine superiore al primo.
2. Sistemi Dinamici in Tempo Discreto : Generalità ed Esempi
- Successioni definite per ricorrenza come sistemi dinamici discreto
- Punti fissi ed equilibri
- Equilibri iperbolici
- Punti periodici, periodo e periodo minimo
- Analisi grafica per mappe da R in R
- Esempi di mappe da R in R
- Esempi di mappe della circonferenza in se'
- Un esempio bidimensionale : il gatto di Arnold
3. Sistemi Dinamici Lineari
- Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali normati : generalità
- Teoria Generale dei sistemi dinamici lineari in tempo discreto definiti su spazi euclidei
- Equilibri, equilibri iperbolici ed equilibri non iperbolici
- Equilibri stabili, equilibri asintoticamente stabili ed equilibri instabili
- Sottospazi invarianti : sottospazi stabile ed instabile di un equilibrio iperbolico
- Classificazione delle dinamiche lineari discrete nel piano e nello spazio
4. Sistemi Dinamici Non-Lineari : la mappa logistica
- Un "case study" per le dinamiche non-lineari : la mappa logistica
- Mappa logistica : diagramma di biforcazione degli equilibri
- Mappa logistica : "period-doubling route to chaos"
- Mappa logistica : Analisi numerica per 3 < m < 4
- Mappa logistica : insiemi invarianti per m > 4 e loro proprietà topologiche
- Mappa logistica : insiemi di Cantor
- Mappa logistica : dinamica simbolica
- Mappa logistica : coniugazione topologica
- Le Mappe unimodali
- Il Teorema di Sarkovski
- La definizione di "Chaos" secondo Li-Yorke
5. Sistemi Dinamici Non-Lineari : elementi di teoria
- Equilibri, equilibri iperbolici ed equilibri non iperbolici
- Analisi "locale" degli equilibri per sistemi dinamici discreti non-lineari
- Linearizzazione di un sistema nell'intorno di un suo equilibrio
- Il Teorema di Hartman e Grobman
- Analisi "globale" di sistemi non-lineari in tempo discreto,
- Dinamiche complesse e "chaos deterministico"
- La definizione di "Chaos" secondo Devaney
- Punti ricorrenti e punti "non wandering"
- Attrattori ed attrattori "strani"
6. SEMINARI
- Seminario 1 : Il "ferro di cavallo" di Smale
- Seminario 2 : Trasformazioni olomorfe del piano, insiemi di Julia e di Mandelbrot
- Seminario 3 : Teoria "ergodica" dei sistemi dinamici discreti
- Seminario 4 : "How random is a coin toss?"
7. Modelli Dinamici Discreti nelle Scienze Economiche e Sociali
- Modelli di dinamica delle popolazioni
- Modelli epidemiologici
- Modelli ecologici "preda-predatore"
- Modello lineare "moltiplicatore-acceleratore" alla Hicks-Samuelson
- Modelli di dinamica keynesiana della domanda
- Modelli alla Goodwin di "business-cycle"
- Modelli di crescita alla Kaldor
- Modelli dinamici del mercato azionario
8. Programmazione Dinamica Discreta
- Programmazione dinamica : orizzonte temporale finito ed infinito
- Programmazione dinamica : tempo continuo e tempo discreto
- Programmazione dinamica : contesto deterministico ed in contesto stocastico
- Un esempio economico classico : il modello deterministico di crescita ottima
- Prerequisiti matematici : corrispondenze tra spazi topologici
- Prerequisiti matematici : continuità, semicontinuità superiore e semicontinuità inferiore
- Prerequisiti matematici : il teorema del Massimo
- Programmazione Dinamica Discreta (PPD) con "certezza" ed orizzonte infinito
- Formulazione standard di un problema di PPD
- Vincoli dinamici : la "feasibility constraints correspondence"
- Funzione valore, policy correspondence, policy function, optimal policy correspondence
- Il Principio di Ottimalità
- L'Equazione di Bellman
- La "policy equation"
- Programmazione Dinamica Discreta con funzioni utilità limitate
- Programmazione Dinamica Discreta con rendimenti costanti di scala
- Esempi di Programmazione Dinamica Discreta con funzioni utilità non limitate
- Programmazione Dinamica Discreta : l'approccio "variazionale"
- L'Equazione di Eulero
- Le condizioni di trasversalità
- Derivazione della Equazione di Eulero dall'Equazione di Bellman
9. PDD ed Applicazioni Economiche
- Modelli economici in condizioni di "certezza" formulati nel linguaggio della PDD
- Crescita ottima unisettoriale con popolazione e tecnologia costanti
- Crescita ottima unisettoriale in presenza di progresso tecnico
- "Learning by Doing"
- "Human Capital Accumulation"
- Teoria dell'Investimento
- Teoria del Consumo con "Recursive Preferences"
NOTA :
Il programma deve intendersi come "massimale". Solo un sottoinsieme degli argomenti elencati verrà trattato a lezione e costituirà quindi materia di esame.