P. Marcellini, C. Sbordone
Elementi di Calcolo
Liguori Editore
Obiettivi Formativi
Apprendere le nozioni fondamentali del calcolo differenziale e integrale, in una e più variabili.
Prerequisiti
programma ministeriale di matematica delle scuole medie superiori
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta e orale
Programma del corso
1. Richiami sui numeri reali. Numeri razionali e irrazionali. Principio di induzione. Estremo superiore e inferiore.
2. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Successioni monotone.
3. Funzioni reali di una variabile. Nozione di funzione. Limiti di funzioni. Operazioni con i limiti. Continuità. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi; teorema di Weierstrass; teorema della permanenza del segno.
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di derivata. derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Derivate della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Lagrange e Rolle. Relazione tra monotonia e segno della derivata. Derivata seconda e concavità. I teroemi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor; sviluppi delle funzioni elementari.
5. Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Definizione di integrale mediante le somme di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale, e la formula fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione; formule di integrazione per parti e per sostituzione.
6. Serie numeriche. Nozione di serie numerica; successione delle somme parziali di una serie numerica. Carattere di una serie. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a termini positivi.
7. Funzioni di più variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali; gradiente; derivate direzionali; differenziabilità. Massimi e minimi locali. Tecniche di identificazione dei punti di estremo locale; uso della matrice hessiana.