B026182 - LABORATORIO DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE E STATISTICHE

Italiano

Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale. Introduzione alle funzioni di più variabili reali.

Enrico Giusti, Elementi di Analisi Matematica, 2008, Bollati Boringhieri.

Per la parte del programma relativa alle funzioni di due variabili si veda il materiale didattico fornito dai docenti.

L'insegnamento si propone di fornire gli strumenti matematici necessari per la costruzione e lo studio di semplici modelli economici. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i concetti matematici e i teoremi presentati. Relativamente a tali concetti e teoremi, lo studente dovrà inoltre essere in grado di comprendere ed utilizzare in modo appropriato il formalismo e la sintassi, risolvere esercizi e problemi e sviluppare semplici ragionamenti deduttivi.

Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici. Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni. Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza. Teoria degli insiemi: appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare e insieme vuoto.

Lezioni ed esercitazioni frontali e registrate.

Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.

La verifica dell'apprendimento avviene tramite una prova scritta ed una eventuale prova orale. Tali prove sono finalizzate a verificare:
-le conoscenze acquisite relativamente ai concetti matematici e teoremi oggetto del corso,
-la comprensione e l'utilizzo del formalismo e della sintassi relativi ai concetti studiati,
-la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi,
-la capacità di sviluppare semplici ragionamenti deduttivi.

IMPORTANTE. A causa dell'emergenza relativa al virus SARS-CoV-2, le modalità di verifica dell'apprendimento potranno subire delle variazioni
che saranno tempestivamente comunicate agli studenti.

Maggiori dettagli sulla modalità d'esame sono disponibili sulla pagina moodle di questo insegnamento.

Dei teoremi contrassegnati con * non è richiesta la conoscenza della dimostrazione.

Numeri reali. Operazioni e ordinamento. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Teorema* sulla irrazionalità della radice quadrata di 2. Intervalli, maggioranti e minoranti di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremo superiore ed inferiore, completezza. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.

Funzioni reali. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e grafico di una funzione. Immagine e immagine inversa. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Restrizioni di funzioni. Funzioni monotone, stretta monotonia e invertibilità. Funzioni limitate superiormente ed inferiormente, estremo superiore ed inferiore di una funzione su un insieme, punti di massimo e punti di minimo di una funzione su un insieme, valore massimo e valore minimo di una funzione su un insieme. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni potenza, funzione valore assoluto. Funzioni definite a tratti.

Limiti di funzioni. Limite di una funzione in un punto. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Limite destro e limite sinistro. Teorema* sul limite della somma di funzioni. Teorema* sul limite del prodotto di funzioni. Teorema* sul limite del quoziente di funzioni. Teoremi* sul limite della composizione di funzioni (cambiamento di variabili). Limiti infiniti e limiti all'infinito. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate e limiti notevoli.

Funzioni continue. Definizione di continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Teorema* sulla continuità della somma di funzioni. Teorema* sulla continuità del prodotto di funzioni. Teorema* sulla continuità del quoziente di funzioni. Teorema* sulla continuità della composizione di funzioni. Teorema* degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema* di Weierstrass.

Il calcolo differenziale. Definizione di derivabilità di una funzione. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità. Teorema* sulla derivazione della somma di funzioni. Teorema* sulla derivazione del prodotto di funzioni. Teorema* sulla derivazione del quoziente di funzioni. Teorema* sulla derivazione della composizione di funzioni. Punti di massimo locale e punti di minimo locale di una funzione. Punti stazionari. Relazione fra punti di massimo/minimo locale e punti stazionari (Teorema di Fermat). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Teoremi* di de l'Hôpital.

Derivate successive. Derivata seconda. Funzioni concave e convesse. Teorema* sulla relazione fra convessità e concavità di una funzione e il segno della derivata seconda. Teorema* sul segno della derivata seconda come condizione sufficiente per massimi e minimi locali. Studio del grafico di una funzione.

Funzioni di due variabili. Introduzione alle funzioni di due variabili. Insieme di definizione. Rappresentazione grafica, curve di livello. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione. Limite di una funzione in un punto. Definizione di continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Derivate parziali. Derivate parziali e monotonia. Piano tangente al grafico di una funzione. Teorema* del differenziale totale.