Teoria degli insiemi. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale.
Contenuto del corso - Cognomi A-Z
[Per le modalità di accesso a questo corso si veda la sezione Altre Informazioni]
Funzioni di una variabile reale e loro proprietà. Derivate e loro applicazioni. Limiti e continuità. Ricerca di massimi e minimi. Introduzione alle funzioni di più variabili reali. Derivate parziali.
Contenuto del corso - Cognomi D-L
Teoria degli insiemi. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale.
Contenuto del corso - Cognomi M-P
Teoria degli insiemi. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale.
Contenuto del corso - Cognomi Q-Z
Teoria degli insiemi. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale.
Enrico Giusti, Elementi di Analisi Matematica, 2008, Bollati Boringhieri.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-C
Fornire gli strumenti matematici necessari per la costruzione e lo studio di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-Z
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CONOSCENZE: Rudimenti di analisi matematica. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale. Introduzione al calcolo per funzioni di più variabili reali.
COMPETENZE: Obiettivo del corso è fornire gli strumenti necessari per la costruzione e lo studio di modelli matematici che utilizzano funzioni di una o più variabili reali, tipici di molti problemi economico/aziendali. Gli studenti saranno in grado di applicare i concetti base del calcolo infinitesimale allo studio di funzioni e di semplici problemi di ottimizzazione.
Obiettivi Formativi - Cognomi D-L
Fornire gli strumenti matematici necessari per la costruzione e lo studio di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-P
Fornire gli strumenti matematici necessari per la costruzione e lo studio di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile.
Obiettivi Formativi - Cognomi Q-Z
Fornire gli strumenti matematici necessari per la costruzione e lo studio di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile.
Prerequisiti - Cognomi A-C
Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni/radici di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza.
Prerequisiti - Cognomi A-Z
[Per le modalità di accesso a questo corso si veda la sezione Altre Informazioni]
Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni/radici di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni. Sommatorie e formula del Binomio di Newton.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza.
Gran parte di questi argomenti sono trattati nel Cap. 0 (paragrafi da 0.1 a 0.14 compresi), nel Cap. 1 (paragrafi da 1.4 a 1.7 compresi) e nel Cap. 2 (Par. 2.5) del libro di testo.
Prerequisiti - Cognomi D-L
Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni/radici di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza.
Prerequisiti - Cognomi M-P
Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni/radici di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza.
Prerequisiti - Cognomi Q-Z
Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali (idea intuitiva). Valore assoluto. Potenze e radici.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni/radici di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza.
Metodi Didattici - Cognomi A-C
Lezione frontale. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte 3 lezioni di 2 ore ciascuna
Metodi Didattici - Cognomi A-Z
[Per le modalità di accesso a questo corso si veda la sezione Altre Informazioni]
Il corso consiste di:
(a) lezioni frontali – usuali 3 incontri settimanali con lezioni ed esercizi
(b) esercitazioni da fare a casa attraverso la piattaforma MyMathLab – lo studente è invitato ad utilizzare la piattaforma online per acquisire e giungere a padroneggiare negli stretti tempi necessari, gli argomenti proposti
(c) verifiche in corso – durante il corso verranno organizzate delle verifiche (da casa e/o in laboratorio informatico), al ritmo di circa una per settimana. Il superamento con voto sufficiente di almeno 8 di queste verifiche consente:
1. di partecipare al pre-appello straordinario di Dicembre 2017
2. di essere esonerati dalla domanda “M”, altrimenti obbligatoria, nell’ambito della prova scritta finale (si veda la sezione "Modalità di verifica dell'apprendimento").
(d) seminari – oltre al corso “base” verranno proposti alcuni seminari di approfondimento. Questi seminari sono rivolti agli studenti maggiormente interessati alla materia e verteranno su argomenti complementari a quelli svolti a lezione. La frequenza ai seminari darà la possibilità di accedere, nel pre-appello di Dicembre, ad una parte “speciale” della prova finale.
Metodi Didattici - Cognomi D-L
Lezione frontale. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte 3 lezioni di 2 ore ciascuna.
Metodi Didattici - Cognomi M-P
Lezione frontale. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte 3 lezioni di 2 ore ciascuna.
Metodi Didattici - Cognomi Q-Z
Lezioni frontali. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte 2 lezioni (di 2 ore ciascuna) e un'esercitazione di 2 ore.
Altre Informazioni - Cognomi A-C
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.
Altre Informazioni - Cognomi A-Z
<h5><span class="" style="color: rgb(239, 69, 64);">Come si accede al corso sperimentale di Matematica per le Applicazioni Economiche 1 - "Cognomi A-Z".</span></h5>
Questo corso può essere scelto in alternativa ai corsi tradizionali suddivisi per lettera. E’ necessario fare domanda di iscrizione compilando il modulo online al seguente indirizzo:
Verranno accettati un numero massimo di 120 studenti. Qualora vengano presentate più di 120 domande verrà data la precedenza alle neo-matricole. Qualora ancora si eccedesse il numero massimo di 120 si procederà ad estrazione casuale.
La selezione delle domande avverrà Martedì 12 Settembre 2017. Gli interessati riceveranno un messaggio di posta elettronica che li informerà circa l’esito della loro domanda di iscrizione al corso.
<h5><span class="" style="color: rgb(239, 69, 64);">Differenze principali con i corsi “tradizionali”.</span></h5>
Il corso sperimentale si differenzia dai tradizionali su due livelli:
(a) L’organizzazione del corso è pensata per “obbligare” lo studente a studiare quotidianamente gli argomenti, man mano che questi vengono sviluppati a lezione. Una serie di esercitazioni e verifiche obbligatorie saranno proposte a tal fine. Solo seguendo il ciclo di attività così come pensato ed organizzato dai docenti, lo studente si metterà nelle migliori condizioni per poter affrontare e superare l’esame finale.
(b) Il programma, pur restando in linea di massima uguale a quello dei corsi tradizionali si differenzia da essi per il maggior peso posto sui metodi del calcolo rispetto ai principi dell’analisi e per l’aggiunta di alcuni argomenti che non vengono svolti negli altri corsi.
Altre Informazioni - Cognomi D-L
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.
Altre Informazioni - Cognomi M-P
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.
Altre Informazioni - Cognomi Q-Z
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-C
Modalità a distanza (emergenza COVID-19): dettagli sulla pagina moodle del corso.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-Z
[Per le modalità di accesso a questo corso si veda la sezione Altre Informazioni]
L’esame consiste in una prova scritta composta da due parti: la prima parte prevede domande con risposta chiusa mentre la seconda parte è costituita da problemi. Tipicamente (ma non necessariamente) si avranno 10 domande a risposta chiusa, con penalizzazione per risposte errate, che diano un massimo di 20 punti e 2 o 3 problemi, di cui tipicamente uno studio di funzione, che diano fino a 12 punti.
Coloro che abbiano svolto con successo le verifiche in corso d’anno di cui al punto (c) della sezione "Metodi didattici" dovranno risolvere 2 problemi, mentre coloro che non abbiano svolto le verifiche con successo risolveranno un problema in più (la domanda “M”) di argomento teorico. Che si tratti di 2 o 3 problemi il punteggio complessivo che si può ottenere in questa parte del compito è comunque pari a 12 punti.
La prova si considera superata se si ottiene un punteggio complessivo di almeno 18 punti.
Nel solo pre-appello di Dicembre è previsto anche un esercizio che verte sugli argomenti svolti durante i seminari, che può fruttare fino a 4 punti.
Per raggiungere la votazione di 30 e lode è necessario avere ottenuto almeno 32 punti nella prova scritta.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi D-L
Ogni studente dovrà sostenere una prova scritta. Nel caso in cui la prova scritta risulti insufficiente, lo studente sarà respinto. Nel caso in cui la prova scritta risulti sufficiente, lo studente dovrà sostenere una prova orale. L’esito finale dell’esame è determinato sulla base della valutazione della prova scritta e della prova orale.
Per ulteriori informazioni sul regolamento di esame si consulti la pagina Moodle del corso.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-P
Ogni studente dovrà sostenere una prova scritta. Nel caso in cui la prova scritta risulti insufficiente, lo studente sarà respinto. Nel caso in cui la prova scritta risulti sufficiente, lo studente dovrà sostenere una prova orale. L'esito finale dell'esame è determinato sulla base della valutazione della prova scritta e della prova orale.
Per ulteriori informazioni sul regolamento di esame si consulti la pagina Moodle del corso.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi Q-Z
Ogni studente dovrà sostenere una prova scritta. Nel caso in cui la prova scritta risulti insufficiente, lo studente sarà respinto. Nel caso in cui la prova scritta risulti sufficiente, lo studente dovrà sostenere una prova orale. L’esito finale dell’esame è determinato sulla base della valutazione della prova scritta e della prova orale.
Per ulteriori informazioni sul regolamento di esame si consulti la pagina Moodle del corso.
Programma del corso - Cognomi A-C
Dei teoremi contrassegnati con * non è richiesta la conoscenza della dimostrazione.
La teoria degli insiemi. Appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare e insieme vuoto.
Numeri reali. Operazioni e ordinamento. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Teorema* sulla irrazionalità della radice quadrata di 2. Intervalli, maggioranti e minoranti di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremo superiore ed inferiore, completezza. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e grafico di una funzione. Immagine e immagine inversa. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Restrizioni di funzioni. Funzioni monotone, stretta monotonia e invertibilità. Funzioni limitate superiormente ed inferiormente, estremo superiore ed inferiore di una funzione su un insieme, punti di massimo e punti di minimo di una funzione su un insieme, valore massimo e valore minimo di una funzione su un insieme. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni potenza, funzione valore assoluto e funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente). Funzioni definite a tratti.
Limiti di funzioni. Limite di una funzione in un punto. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema* del confronto (o dei carabinieri). Limite destro e limite sinistro. Teorema* sul limite della somma di funzioni. Teorema* sul limite del prodotto di funzioni. Teorema* sul limite del quoziente di funzioni. Teoremi* sul limite della composizione di funzioni (cambiamento di variabili). Limiti infiniti e limiti all'infinito. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Funzioni continue. Definizione di continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Teorema* sulla continuità della somma di funzioni. Teorema* sulla continuità del prodotto di funzioni. Teorema* sulla continuità del quoziente di funzioni. Teorema* sulla continuità della composizione di funzioni. Teorema* degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema* di Weierstrass.
Il calcolo differenziale. Definizione di derivabilità di una funzione. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità. Teorema* sulla derivazione della somma di funzioni. Teorema* sulla derivazione del prodotto di funzioni. Teorema* sulla derivazione del quoziente di funzioni. Teorema* sulla derivazione della composizione di funzioni. Punti di massimo locale e punti di minimo locale di una funzione. Punti stazionari. Relazione fra punti di massimo/minimo locale e punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Teoremi* di de l'Hôspital.
Derivate successive. Derivata seconda. Funzioni concave e convesse. Teorema* sulla relazione fra convessità e concavità di una funzione e il segno della derivata seconda. Teorema* sul segno della derivata seconda come condizione sufficiente per massimi e minimi locali. Studio del grafico di una funzione.
Programma del corso - Cognomi A-Z
[Per le modalità di accesso a questo corso si veda la sezione Altre Informazioni]
Il calendario di massima con indicazione del programma esteso è il seguente:
n. Argomento
1 Introduzione al corso
2 Sommatorie, elementi di Logica
3 Insiemi, principio di Induzione
4 Funzioni, Grafici, Potenze
5 Esponenziali, Logaritmi
6 Test sui Prerequisiti in classe
7 Operazioni tra funzioni
8 Funzioni composte
9 Funzioni inverse
10 Pendenza, derivate
11 Monotonia e tassi di variazione
12 Introduzione ai limiti
13 Regole di derivazione e operazioni elementari
14 Derivata funzioni composte
15 Derivate successive e concavità
16 Derivate di esponenziali e logaritmi
17 Cenni a funzioni implicite e loro derivate
18 Derivata della funzione inversa e approssimazioni lineari
19 Approssimazioni polinomiali e Taylor
20 Elasticità
21 Continuità
22 Limiti
23 Valori intermedi e metodo di Newton
24 Successioni
25 Regola di de l'Hopital
26 Ricerca di massimi e minimi, teorema di Fermat
27 Test per calcolo massimi e esempi economici
28 Teoremi di Weierstrass e Lagrange
29 Esempi economici
30 Punti di estremo locale
31 Punti di flesso
32 Funzioni di due variabili e derivate parziali
33 Rappresentazione geometrica e curve di livello
34 Applicazioni economiche e elasticità parziali
35 Derivazione implicita e curve di livello
36 Condizioni del primo ordine per ottimizzazione in due variabili
Programma del corso - Cognomi D-L
Dei teoremi contrassegnati con * non è richiesta la conoscenza della dimostrazione.
La teoria degli insiemi. Appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare e insieme vuoto.
Numeri reali. Operazioni e ordinamento. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Teorema* sulla irrazionalità della radice quadrata di 2. Intervalli, maggioranti e minoranti di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremo superiore ed inferiore, completezza. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.
Funzioni reali. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e grafico di una funzione. Immagine e immagine inversa. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Restrizioni di funzioni. Funzioni monotone, stretta monotonia e invertibilità. Funzioni limitate superiormente ed inferiormente, estremo superiore ed inferiore di una funzione su un insieme, punti di massimo e punti di minimo di una funzione su un insieme, valore massimo e valore minimo di una funzione su un insieme. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni potenza, funzione valore assoluto e funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente). Funzioni definite a tratti.
Limiti di funzioni. Limite di una funzione in un punto. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema* del confronto (o dei carabinieri). Limite destro e limite sinistro. Teorema* sul limite della somma di funzioni. Teorema* sul limite del prodotto di funzioni. Teorema* sul limite del quoziente di funzioni. Teoremi* sul limite della composizione di funzioni (cambiamento di variabili). Limiti infiniti e limiti all'infinito. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Funzioni continue. Definizione di continuità di una funzione. Continuità di alcune funzioni elementari. Teorema* sulla continuità della somma di funzioni. Teorema* sulla continuità del prodotto di funzioni. Teorema* sulla continuità del quoziente di funzioni. Teorema* sulla continuità della composizione di funzioni. Teorema* degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema* di Weierstrass.
Il calcolo differenziale. Definizione di derivabilità di una funzione. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità. Teorema* sulla derivazione della somma di funzioni. Teorema* sulla derivazione del prodotto di funzioni. Teorema* sulla derivazione del quoziente di funzioni. Teorema* sulla derivazione della composizione di funzioni. Punti di massimo locale e punti di minimo locale di una funzione. Punti stazionari. Relazione fra punti di massimo/minimo locale e punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Teoremi* di de l'Hôspital.
Derivate successive. Derivata seconda. Funzioni concave e convesse. Teorema* sulla relazione fra convessità e concavità di una funzione e il segno della derivata seconda. Teorema* sul segno della derivata seconda come condizione sufficiente per massimi e minimi locali. Studio del grafico di una funzione. Polinomio di Taylor di grado uno e Teorema* di Taylor per il polinomio di grado uno.
Programma del corso - Cognomi M-P
Dei teoremi contrassegnati con * non è richiesta la conoscenza della dimostrazione.
La teoria degli insiemi. Appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare e insieme vuoto.
Numeri reali. Operazioni e ordinamento. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Teorema* sulla irrazionalità della radice quadrata di 2. Intervalli, maggioranti e minoranti di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremo superiore ed inferiore, completezza. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e grafico di una funzione. Immagine e immagine inversa. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Restrizioni di funzioni. Funzioni monotone, stretta monotonia e invertibilità. Funzioni limitate superiormente ed inferiormente, estremo superiore ed inferiore di una funzione su un insieme, punti di massimo e punti di minimo di una funzione su un insieme, valore massimo e valore minimo di una funzione su un insieme. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni potenza, funzione valore assoluto e funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente). Funzioni definite a tratti.
Limiti di funzioni. Limite di una funzione in un punto. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema* del confronto (o dei carabinieri). Limite destro e limite sinistro. Teorema* sul limite della somma di funzioni. Teorema* sul limite del prodotto di funzioni. Teorema* sul limite del quoziente di funzioni. Teoremi* sul limite della composizione di funzioni (cambiamento di variabili). Limiti infiniti e limiti all'infinito. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Funzioni continue. Definizione di continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Teorema* sulla continuità della somma di funzioni. Teorema* sulla continuità del prodotto di funzioni. Teorema* sulla continuità del quoziente di funzioni. Teorema* sulla continuità della composizione di funzioni. Teorema* degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema* di Weierstrass.
Il calcolo differenziale. Definizione di derivabilità di una funzione. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità. Teorema* sulla derivazione della somma di funzioni. Teorema* sulla derivazione del prodotto di funzioni. Teorema* sulla derivazione del quoziente di funzioni. Teorema* sulla derivazione della composizione di funzioni. Punti di massimo locale e punti di minimo locale di una funzione. Punti stazionari. Relazione fra punti di massimo/minimo locale e punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Teoremi* di de l'Hôspital.
Derivate successive. Derivata seconda. Funzioni concave e convesse. Teorema* sulla relazione fra convessità e concavità di una funzione e il segno della derivata seconda. Teorema* sul segno della derivata seconda come condizione sufficiente per massimi e minimi locali. Studio del grafico di una funzione.
Programma del corso - Cognomi Q-Z
Dei teoremi contrassegnati con * non è richiesta la conoscenza della dimostrazione.
La teoria degli insiemi. Appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare e insieme vuoto.
Numeri reali. Operazioni e ordinamento. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Teorema* sulla irrazionalità della radice quadrata di 2. Intervalli, maggioranti e minoranti di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremo superiore ed inferiore, completezza. Intorno di un punto, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e grafico di una funzione. Immagine e immagine inversa. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Restrizioni di funzioni. Funzioni monotone, stretta monotonia e invertibilità. Funzioni limitate superiormente ed inferiormente, estremo superiore ed inferiore di una funzione su un insieme, punti di massimo e punti di minimo di una funzione su un insieme, valore massimo e valore minimo di una funzione su un insieme. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni potenza, funzione valore assoluto e funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente). Funzioni definite a tratti.
Limiti di funzioni. Limite di una funzione in un punto. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema* del confronto (o dei carabinieri). Limite destro e limite sinistro. Teorema* sul limite della somma di funzioni. Teorema* sul limite del prodotto di funzioni. Teorema* sul limite del quoziente di funzioni. Teoremi* sul limite della composizione di funzioni (cambiamento di variabili). Limiti infiniti e limiti all'infinito. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Funzioni continue. Definizione di continuità di una funzione. Continuità delle funzioni elementari. Teorema* sulla continuità della somma di funzioni. Teorema* sulla continuità del prodotto di funzioni. Teorema* sulla continuità del quoziente di funzioni. Teorema* sulla continuità della composizione di funzioni. Teorema* degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema* di Weierstrass.
Il calcolo differenziale. Definizione di derivabilità di una funzione. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità. Teorema* sulla derivazione della somma di funzioni. Teorema* sulla derivazione del prodotto di funzioni. Teorema* sulla derivazione del quoziente di funzioni. Teorema* sulla derivazione della composizione di funzioni. Punti di massimo locale e punti di minimo locale di una funzione. Punti stazionari. Relazione fra punti di massimo/minimo locale e punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Teoremi* di de l'Hôspital.
Derivate successive. Derivata seconda. Funzioni concave e convesse. Teorema* sulla relazione fra convessità e concavità di una funzione e il segno della derivata seconda. Teorema* sul segno della derivata seconda come condizione sufficiente per massimi e minimi locali. Studio del grafico di una funzione.