il corso sarà tenuto indicativamente in lingua italiana (è prevista la possibilità di adottare la lingua inglese in base alle esigenze degli studenti iscritti).
Contenuto del corso
1. Sistemi dinamici in tempo continuo
2. Introduzione al calcolo delle variazioni ed alla teoria del controllo ottimo
ARNOLD V. (AR)
Equations Differentielles Ordinaires, Editions MIR, 1974
CHIANG A. C. (CH)
Elements of Dynamic Optimization, Waveland Press Inc., 1992
GUCKENHEIMER J. , HOLMES P. (GH)
Non Linear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Applied Mathematical Sciences (Vol. 42), Springer, 1983
HIRSCH M. , SMALE S. (HS)
Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974
Conoscenza dei fondamenti della Teoria dei Sistemi Dinamici in tempo continuo e di metodi classici della Programmazione Dinamica, e delle loro applicazioni a problemi di dinamica economica
Prerequisiti
1. Elementi di algebra lineare
2. Elementi di topologia generale negli spazi euclidei
3. Calcolo differenziale di una e più variabili
Metodi Didattici
Lezioni in aula e attività seminariali
Modalità di verifica apprendimento
Esame finale scritto ed orale
Programma del corso
1. Prerequisiti Matematici I: Complementi di Topologia
1.1. Generalità sugli spazi metrici
1.2. Intorni
1.3. Punti interni, esterni, isolati, di frontiera e di accumulazione
1.4. Insiemi aperti, insiemi chiusi e loro proprietà
1.5. Topologia degli spazi metrici
1.6. Dualità “aperti-chiusi” ed operazioni booleane
1.7. Derivato, frontiera, interno e chiusura di un insieme e loro proprietà
1.8. Sottospazi di spazi metrici: distanza e topologia indotte
1.13. Funzioni continue: definizioni locali e globali
1.14. Continuità di funzioni composte di funzioni continue
1.15. Continuità “per successioni” (teorema del collegamento)
1.16. Funzioni aperte e funzioni chiuse
1.17. Omeomorfismi e proprietà “topologiche”
1.18. Uniforme continuità
1.19. Funzioni Lipschitziane e “contrazioni”
1.20. Insiemi connessi
1.21. Connessione per archi
1.22. Componenti connesse
1.23. Insiemi localmente connessi
1.24. Funzioni continue definite su insiemi connessi
1.25. Spazi metrici compatti
1.26. Sottoinsiemi compatti
1.27. Definizioni equivalenti di compattezza
1.28. Caratterizzazione degli insiemi compatti negli spazi euclidei
1.29. Funzioni continue definite su insiemi compatti
1.30. Il teorema di Weierstrass
1.31. Cenno ai “teoremi di punto fisso”
1.32. Il Teorema di Brower
1.33. Il Teorema delle contrazioni (Banach-Cacioppoli)
1.34. Cardinalità di un insieme
1.35. Insiemi numerabili e potenza del continuo
1.36. Metodo di diagonalizzazione di Cantor
1.37. Insiemi di Cantor
Riferimenti:
Il volume Analisi Matematica 1, terza edizione, di Enrico Giusti , Edizioni Bollati-Boringhieri, contiene gran parte delle definizioni e dei teoremi sopra citati ed costituisce un utile riferimento.
Gli argomenti di questa sezione sono parzialmente trattati anche in (HS) Cap. 5 - §§ 1 e 2
2. Prerequisiti Matematici II: Complementi di Algebra Lineare
2.1. Spazi vettoriali : definizioni ed esempi
2.2. Combinazioni lineari di vettori
2.3. Spazi di dimensione finita ed infinita
2.4. Basi e dimensione
2.5. Proprietà intrinseche e proprietà non intrinseche
2.6. Sottospazi vettoriali: definizioni, proprietà ed esempi
2.7. Formula di Grassmann
2.8. Applicazioni lineari : definizioni ed esempi
2.9. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare
2.10. Applicazioni lineari su di uno spazio di dimensione finita: il teorema fondamentale
2.11. Applicazioni lineari invertibili (isomorfismi)
2.12. Matrici : definizioni ed esempi
2.13. Matrice trasposta
2.14. Prodotto tra matrici
2.15. Matrici quadrate
2.16. Matrici simmetriche
2.17. Matrici invertibili
2.18. Il gruppo lineare reale GL(n,R)
2.19. Rango per righe, rango per colonne e rango di una matrice
2.20. Determinante di una matrice quadrata : definizioni ed esempi
2.21. Determinante e sue proprietà algebriche
2.22. Determinante e sue proprietà geometriche
2.23. Teorema di Binet
2.24. Determinante e matrici invertibili
2.25. Sistemi lineari di equazioni : definizioni ed esempi
2.26. Sistemi lineari omogenei.
2.27. Il Teorema di Rouchè - Capelli
2.28. Regola di Cramer
2.29. Metodo di risoluzione di Gauss
2.30. Minori e caratteristica di una matrice
2.31. Matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi di dimensione finita
2.32. Matrice cambiamento di base per spazi vettoriali di dimensione finita
2.33. Matrici associate ad una applicazione lineare e cambiamenti di base
2.34. I numeri complessi
2.35. La matrice “moltiplicazione complessa”
2.36. Il coniugio
2.37. Il teorema di D’Alembert
2.38. Esponenziale e logaritmo di un numero complesso
2.39. Funzioni olomorfe
2.40. Autovalori ed autovettori : definizioni ed esempi
2.41. Polinomio caratteristico
2.42. Matrici simili
2.43. Matrici diagonali
2.44. Trasformazioni lineari e matrici diagonalizzabili
2.45. Condizioni sufficienti e condizioni necessarie e sufficienti per la diagoalizzabilità
2.46. Matrici triangolari
2.47. Trasformazioni lineari e matrici triangolarizzabili
2.48. Basi “a ventaglio”
2.48. Condizioni necessarie e sufficienti per la triangolarizzabilità
2.49. Trasformazioni lineari e matrici semisemplici
2.50. Trasformazioni lineari e matrici nilpotenti
2.51. La decomposizione S + N
2.52. Forma canonica di Jordan
2.53. Spazi lineari normati : definizioni ed esempi
2.54. Distanza definita da una norma
2.55. Spazi di Banach
2.56. Esempi di spazi di Banach
2.58. Norme equivalenti
2.59. Equivalenza delle norme in spazi lineari di dimensione finita
2.60. Completezza degli spazi lineari normati di dimensione finita
2.61. Applicazioni lineari tra spazi lineari normati
2.62. Continuità delle applicazioni lineari definite su spazi normati di dimensione finita
2.63. Prodotti scalari : definizioni ed esempi
2.64. Prodotti scalari non degeneri
2.65. Prodotti scalari definiti positivi
2.66. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
2.67. Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo
2.68. Spazi di Hilbert
2.69. Ortogonalità
2.70. Angolo tra due vettori
2.71. Sottospazio ortogonale
2.72. Prodotti scalari definiti positivi in dimensione finita : V = M M
2.73. Prodotti scalari non degeneri in dimensione finita : dimV = dimM + dimM
2.74. Matrice associata ad un prodotto scalare
2.75. Basi ortonormali per prodotti scalari definiti positivi
2.76. Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
2.77. Basi ortogonali per prodotti scalari qualunque
2.78. Teorema di Sylvester
2.79. Forme quadratiche
2.80. Forme quadratiche definite e semidefinite
Riferimenti:
gli argomenti di questa sezione sono estensivamente trattati nel testo “Algebra Lineare” di Serge Lang (LA) sopra citato.
Per le proprietà più rilevanti degli spazi normati si veda comunque, oltre ad (LA) Cap. 7, anche e soprattutto (HS) Cap. 5 - § 2 e 3
3. Introduzione ai Sistemi Dinamici
3.1. Sistemi e loro evoluzione nel tempo
3.2. Sistemi deterministici, semideterministici e stocastici
3.3. Spazio delle fasi o degli stati di un sistema dinamico
3.4. Sistemi di dimensione finita ed infinita
3.5. Sistemi in tempo discreto ed in tempo continuo
3.6. Dinamiche in tempo discreto: iterazione di mappe
3.7. Dinamiche in tempo continuo: campi vettoriali
3.8. Il concetto di flusso di un sistema dinamico deterministico o semideterministico
3.9. Gruppi ad un parametro di trasformazioni
3.9. Traiettorie e curve integrali
3.10. Esempi:
3.10.1. L’equazione discreta della “crescita proporzionale”: x(n+1) = kx(n)
3.10.2. L’equazione continua della “crescita proporzionale”: D(x(t)) = kx(t)
3.10.3. La mappa logistica: x(n+1) = kx(n)(1 – x(n))
3.10.4. Dinamica continua con effetti di densità: Dx(t) = x(t)[a - bx(t)]
3.10.5. Oscillatore Armonico
3.10.6. Equazione delle onde come esempio di dinamica infinito-dimensionale
3.10.7. Modelli demografici, epidemiologici e di crescita economica nella forma: Dx(t) = x(t)[a - bx(t)]
3.10.8. Modelli preda-predatore alla Lotka-Volterra
3.10.9. Il modello di Goodwin di Business-Cycle
Riferimenti:
Questa sezione raccoglie materiale introduttivo ed argomenti trattati a lezione in modo prevalentemente qualitativo.
Può risultare utile in proposito, oltre alla lettura degli appunti, quella di (AR) Cap.1 - §§ 1- 4 e quella di (LO) Introduzione, Cap. 1, Cap.2 - §§ 2.4.1. e 2.4.2., Cap.4 - §§ 4.1.1. e 4.2.2.
4. Sistemi Dinamici in tempo continuo: Teoria Generale
4.1. Sistemi di equazioni differenziali
4.2. Soluzione di un sistema di equazioni differenziali
4.3. Ordine di un sistema
4.4. Sistemi in forma normale
4.5. Sistemi di equazioni differenziali del 1° ordine in forma normale (EDO)
4.6. Sistemi autonomi e non autonomi
4.7. Il tempo come variabile di stato per sistemi “non autonomi”
4.8. Trasformazione di un sistema non autonomo in forma autonoma
4.9. Trasformazione di equazioni o sistemi di equaz. di ordine n in sistemi del 1° ordine
4.10. Sistemi di equaz. diff. del 1° ordine autonomi in forma normale come campi vettoriali
4.11. Campi vettoriali ed interpretazione geometrica delle soluzioni
4.12. Il problema di Cauchy
4.13. Problemi di esistenza e unicità delle soluzioni
4.14. Pennello di Peano
4.15. Teorema di esistenza delle soluzioni per campi vettoriali continui (Peano)
4.16. Problemi di “estensione” dell’intervallo di esistenza delle soluzioni
4.17. Problemi di “dipendenza continua” delle soluzioni dalle condizioni iniziali
4.18. Il problema della “dipendenza” delle soluzioni dalla “legge del moto”: sistemi dinamici strutturalmente stabili
4.19. Teorema Fondamentale : esistenza ed unicità "locale” delle soluzioni per campi vettoriali autonomi lipschitziani (Caratheodory)
4.20. Il Teorema Fondamentale nel caso non autonomo
4.21. Lipschitzianità “locale” per campi vettoriali differenziabili con derivate prime continue
4.22. Lipschitzianità “locale” e lipschitzianità “globale” per funzioni con dominio compatto
4.23. Intervalli e soluzioni massimali per problemi di Cauchy lipschitziani
4.24. Teorema A: l’intervallo massimale di una soluzione limitata coincide con la retta reale
4.25. Formulazione “negativa” del Teorema A: una soluzione il cui intervallo massimale sia limitato abbandona definitivamente, “nel passato” e “nel futuro”, ogni insieme compatto
4.26. Lemma al Teorema A: sia x soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie, e tn una successione di tempi, ammissibili per x, avente limite finito ed uguale a “b”, se inoltre: limn x(tn) = x , si ha allora necessariamente: limtb- x(t) = x
4.27. Esempi di applicazione del Teorema A
4.28. La disuguaglianza di Gronwall
4.29. Teorema: campi vettoriali e condizioni sufficienti affinchè l’intervallo massimale di ogni soluzione coincida con l’intera retta reale
4.30. Teorema di “dipendenza continua” dalle condizioni iniziali e stima esponenziale dell’allontanamento di due traiettorie “inizialmente vicine”
4.31. Teorema: sia (a,b) l’intervallo massimale relativo alla soluzione x di un problema di Cauchy con condizione iniziale x(0) = x , allora, per ogni sottointervallo chiuso [c,d] incluso in (a,b), esiste un intorno U di x tale per cui ogni soluzione, la cui condizione iniziale x(0) = y appartenga ad U, ammette intervallo massimale (,) che include ancora [c,d] .
Riferimenti:
Tutti gli argomenti di questa sezione sono trattati in modo organico in (HS) Cap. 8. Seppure non necessaria può risultare utile ed interessante in questo contesto la lettura di (AR) Cap. 2
5. Sistemi Dinamici Lineari : Generalità
5.1. Sistemi del 1° ordine lineari omogenei a coefficienti costanti: Dx = Ax,
5.2. Sistemi del 1° ordine lineari omogenei a coefficienti funzione del tempo: Dx = A(t)x
5.3. Sistemi dinamici del 1° ordine lineari non omogenei: Dx = A(t)x + B(t)
5.4. Equazioni differenziali lineari di ordine n
5.5. Trasformazione di una equazione differenziale lineare di ordine n in un sistema dinamico lineare del 1° ordine
5.6. Esistenza di soluzioni e loro definizione massimale sull’intera retta reale nel caso di coefficienti costanti e di coefficienti funzioni del tempo continue e limitate
5.7. Teorema: l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Dx = A(t)x , formano uno spazio vettoriale di dimensione n
5.8. Teorema: l’insieme delle soluzioni del sistema non omogeneo Dx = A(t)x + B(t) , formano una varietà lineare affine di dimensione n
5.9. Teorema: l’insieme delle soluzioni di una equazione differenziale lineare di ordine n forma uno spazio vettoriale di dimensione n, se l’equazione è omogenea, ed una varietà lineare affine di dimensione n, se l’equazione è non omogenea
5.10. Sistemi fondamentali di soluzioni
5.11. Determinante Wronskiano di n soluzioni nel caso di sistemi lineari omogenei del primo ordine e di equazioni lineari omogenee di ordine n
5.12. Proprietà di annullamento del Wronskiano
5.13. L’equazione differenziale del Wronskiano: DW(t) = Tr(A(t))W(t) e sua dimostrazione nel caso di equazioni lineari omogenee di ordine n
5.14. Significato geometrico del determinante: misura di volumi e loro orientamento
5.15. Evoluzione dinamica di una regione e del suo volume
5.16. Enunciato del Teorema di Liouville per sistemi dinamici qualunque
5.17. Sistemi dinamici il cui flusso conserva i volumi
5.18. Divergenza di un campo vettoriale ed equazione differenziale del Wronskiano come caso particolare dell’equazione di Liouville nel caso lineare
Riferimenti:
Tutti gli argomenti di questa sezione insieme con quelli della successiva sono trattati in modo organico in (HS) Cap. 3, 4, 5, 6. E’ inoltre utile ed interessante la lettura di (AR) Cap. 3 dove viene sviluppata tutta la parte relativa al Wronskiano ed al Teorema di Liouville e si danno inoltre utili complementi alla Teoria dell’Esponenziale di una Matrice
6. Sistemi Dinamici Lineari : Esponenziale di un Operatore
6.1. Norme nello spazio delle matrici quadrate
6.2. Norma del valore massimo sulla sfera unitaria e sue proprietà
6.3. Richiami sulla definizione di esponenziale di un numero reale: formulazioni equivalenti dell’esponenziale come limite di una successione o come somma di una serie
6.4. Richiami sul concetto di serie in uno spazio lineare normato
6.5. Serie convergenti e assolutamente convergenti
6.6. Teorema: in uno spazio di Banach l’assoluta convergenza implica la convergenza
6.7. Definizione di esponenziale di un vettore in uno spazio di Banach, come somma di una serie assolutamente convergente
6.8. Proprietà dell’esponenziale
6.8.1. Esponenziale della matrice identità
6.8.2. Esponenziale di matrici simili
6.8.3. Esponenziale della somma di due matrici che commutano
6.8.4. Esponenziale di matrici diagonali
6.8.5. Esponenziale della matrice “moltiplicazione complessa”
6.8.6. Equivalenza delle due definizioni di esponenziale: somma di una serie e limite di una successione
6.8.7. Continuità dell’esponenziale
6.8.8. det (I + hA) = 1 + h.TrA + (termini di ordine superiore in h)
6.8.9. Determinante dell’esponenziale: det (exp A) = exp (Tr A)
6.8.10. Il limite per t che tende a 0 della funzione [exp (At) – I ]/t
6.8.11. D[exp(At)] = A. [exp(At)]
6.9. La soluzione: x(t) = exp (At). X per un sistema dinamico del primo ordine lineare omogeneo a coefficienti costanti con condizione iniziale x(0) = X
6.10. Soluzione generale di sistemi non omogenei con coefficienti della matrice A costanti, Dx = A.x + B(t) : il metodo della “variazione delle costanti”
6.11. Classificazione dei sistemi dinamici lineari omogenei a coefficienti costanti di ordine 2: nodi, selle, fuochi, centri, nodi impropri, ecc.
6.12. Diagramma delle biforcazioni nel piano (TrA, detA)
6.13. Forma analitica delle soluzioni exp(At).X nel caso generale di matrici A di ordine n
6.14. Matrici semisemplici, matrici nilpotenti e loro esponenziali
6.15. Teorema della decomposizione primaria: ogni matrice quadrata è simile alla somma di una matrice semisemplice e di una matrice nilpotente che commutano
6.16. Caratterizzazione delle funzioni reali di una variabile reale le cui combinazioni lineari generano le componenti di tutte le soluzioni del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti D(x) = A.x , in base agli autovettori reali e complessi di A ed alla loro molteplicità
6.17. Comportamento asintotico delle soluzioni del sistema D(x) = A.x nel caso di autovalori di A aventi tutti parte reale strettamente negativa (stabilità), positiva (instabilità)
Riferimenti:
Gli argomenti di questa sezione, come quelli della precedente, sono trattati in modo organico in (HS) Cap. 3, 4, 5, 6. E’ inoltre utile ed interessante la lettura di (AR) Cap. 3 dove viene sviluppata tutta la parte relativa al Wronskiano ed al Teorema di Liouville e si danno inoltre utili complementi alla Teoria dell’Esponenziale di una Matrice Per gli argomenti 6.16 e 6.17 si richiede soltanto la conoscenza degli enunciati dei Teoremi ad essi relativi. Il riferimento è ancora (HS) Cap. 6.
7. Sistemi Dinamici Non Lineari : Elementi di Analisi Locale
7.1. Equilibri di un campo vettoriale non lineare
7.2. Stabilità e stabilità asintotica degli equilibri secondo Liapunov
7.3. Equilibri iperbolici
7.4. Teorema : gli equilibri iperbolici sono isolati
7.4. Stabilità asintotica di equilibri iperbolici i cui autovalori hanno tutti parte reale negativa
7.5. Instabilità di un equilibrio se almeno uno degli autovalori ha parte reale positiva
7.6. Teorema di Hartman e Grobman in tempo continuo
7.7. Funzioni di Liapunov
7.8. Primo e secondo Teorema di Liapunov
7.9. Appendice 1: Equilibri per campi vettoriali “gradiente”
7.10. Appendice 2: Equilibri dipendenti da un parametro e biforcazioni
7.10.1. Biforcazione “sella-nodo”
7.10.2. Biforcazione “transcritica”
7.10.3. Biforcazione “pitchfork”
7.10.4. Biforcazione “di Hopf”
Riferimenti:
Tutti gli argomenti di questa sezione, compresa la prima appendice, sono trattati in modo organico in (HS) Cap. 7 - §§ 1 e 2, ed in (HS) Cap. 9 - §§ 1, 2 , 3 e 4. Per la seconda appendice il riferimento è (GH) Cap.3 - § 4
8. Sistemi Dinamici Non Lineari : Cenni di Analisi Globale
8.1. Generalità su regioni invarianti e attrattori
8.1.1. Esempio 1 : l’attrattore di Lorenz
8.1.2. Esempio 2 : l’attrattore di Roessler
8.1.3. Esempio 3 : “tori” attrattivi
8.2. Equilibri e attrattori periodici (cicli limite)
8.2.1. Insiemi -limite ed insiemi -limite
8.2.2. Cicli limite
8.2.3. Punti ricorrenti e punti “non-wandering”
8.5. Il teorema di Poincarè-Bendixon
8.5.1. Sistemi dinamici non lineari nel piano
8.5.2. Cicli limite per sistemi dinamici non lineari nel piano
8.5.3. Sezioni locali e “flow boxes”
8.5.4. Successioni monotone sopra una sezione locale
8.5.5. Dimostrazione del teorema di Poincarè-Bendixon
8.5.6. Applicazioni del teorema di Poincarè-Bendixon
Riferimenti:
Al Teorema di Poincarè-Bendixon è dedicato l’intero Cap.11 di (HS), che contiene anche le definizioni di insiemi - ed -limite. Più in generale, relativamente al concetto di attrattore, si può fare riferimento alla trattazione qualitativa contenuta in (LO), ovvero al Cap. 5 di (GH), ove lo stesso argomento è viene svolto ad un livello formale assai più sofisticato.
9. Introduzione alla Teoria del Controllo Ottimo
9.1. Calcolo delle variazioni: problemi ad “estremi fissi”
9.1.1. Funzionali
9.1.2. Equazione di Eulero
9.1.3. Applicazioni
9.2. Calcolo delle variazioni: problemi ad “estremi mobili”
9.2.1. Il caso più semplice
9.2.2. Equazione di Eulero e condizioni di “trasversalità”
9.2.3. Applicazioni
9.3. Controllo ottimo: il Principio del Massimo
9.3.1. Il più semplice problema di controllo ottimo
9.3.2. Il Principio del Massimo
9.3.3. Giustificazioni euristiche al Principio del Massimo
9.3.4. Forme alternative di condizioni al bordo
9.3.5. Calcolo delle variazioni e teoria del controllo ottimo
9.3.6. Modelli di “Political Business Cycle”
9.3.7. Modelli di “consumo energetico e qualità ambientale”
9.4. Estensioni della Teoria del Controllo Ottimo
9.4.1. Problemi con più di una variabile di stato e più di una variabile di controllo
9.4.2. Modelli di inquinamento ambientale
9.4.3. Problemi di controllo ottimo con orizzonte temporale infinito
9.4.4. Modelli neoclassici di crescita ottimale
9.4.5. Modelli di progresso tecnologico
Riferimenti:
Tutti gli argomenti di questa sezione sono trattati in modo organico in (CH), di cui si rimanda alla Parte 2 per quanto riguarda il Calcolo delle Variazioni, ed alla Parte 3 con riferimento alla Teoria del Controllo Ottimo.
10. Modelli Dinamici
10.1. Modelli Fisici
10.1.1. Decadimento radioattivo (modelli in tempo continuo)
10.1.2. Seconda legge della dinamica
10.1.3. Moto di un corpo rigido
10.1.4. Oscillatore armonico
10.1.5. Campi di forza gradienti e sistemi conservativi
10.1.6. Equazione delle onde
10.1.7 Equazione del calore
10.2. Modelli demografici, epidemiologici ed ecologici
10.2.1. Crescita di una popolazione in assenza di effetti densità
10.2.2. Crescita di una popolazione in presenza di effetti densità
10.2.3. Modelli preda-predatore
10.2.4. Il modello di Lotka-Volterra
10.2.5. Specie in competizione
10.2.6. Dinamica di malattie non mortali e recidivanti
10.2.7. Dinamica di malattie non mortali e non recidivanti
10.3. Modelli in economia e nelle scienze sociali
10.3.1. Modelli di matematica finanziaria classici
10.3.2. Modelli lineari “moltiplicatore-acceleratore” alla Hicks-Samuelson
10.3.3. Acceleratore non lineare di Goodwin
10.3.4. Modelli di dinamica keynesiana della domanda
10.3.4. Modelli alla Goodwin di “business-cycle”
10.3.5. Modelli di crescita alla Kaldor
10.3.6. Modelli dinamici del mercato azionario
10.3.7. Equazioni di conservazione e modelli del traffico
Riferimenti:
Tutti gli argomenti del paragrafo 10.3 di questa sezione sono trattati in modo organico in (LO) mentre per i contenuti dei paragrafi 10.1 e 10.2 gli studenti devono far riferimento agli appunti presi a lezione e/o messi a disposizione dal docente.