Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale. Introduzione alle funzioni di più variabili reali. Matrici e algebra delle matrici.
K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal. Metodi Matematici per l’Economia (Quinta Edizione). Pearson, 2021.
Ulteriore materiale didattico sarà fornito dal docente.
Obiettivi Formativi
L'insegnamento si propone di fornire alcuni strumenti matematici di base utili per la comprensione di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile reale e di due variabili reali. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i concetti matematici presentati, dovrà essere in grado di comprendere ed utilizzare in modo appropriato il formalismo e la sintassi ad essi relativi e dovrà essere capace di risolvere esercizi e problemi.
Prerequisiti
Elementi di teoria degli insiemi. Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali, operazioni fra numeri reali, ordinamento, rappresentazione geometrica, intervalli. Radici e valore assoluto. Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni. Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza. Funzioni reali di variabile reale. Dominio di una funzione. Grafico di una funzione. Immagine di una funzione. Funzioni monotone, funzioni strettamente monotone. Punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Valore massimo e valore minimo di una funzione. Funzioni concave e funzioni convesse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzioni potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive. Funzione inversa di una funzione iniettiva.
Metodi Didattici
Lezioni frontali. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte due lezioni.
Altre Informazioni
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università degli Studi di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso.
Modalità di verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene tramite una prova scritta ed un'eventuale prova orale. Tali prove sono finalizzate a verificare le conoscenze acquisite relativamente ai concetti matematici e ai teoremi oggetto del corso, la comprensione e la capacità di utilizzare il formalismo e la sintassi relativi ai concetti studiati, la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi. La prova scritta ha una durata di 90 minuti ed è costituita da un numero variabile di esercizi. Durante lo svolgimento della prova scritta non è consentito l’utilizzo di calcolatrici, appunti o libri. Nel caso in cui la prova scritta risulti insufficiente, lo studente sarà respinto. Nel caso in cui la prova scritta risulti sufficiente, lo studente potrà richiedere, a propria discrezione, di sostenere una prova orale. Se lo studente non sostiene la prova orale il voto dell'esame coinciderà con il voto ottenuto alla prova scritta. Se lo studente sostiene la prova orale l'esito finale dell'esame sarà determinato sulla base del voto della prova scritta e della valutazione della prova orale. Per conseguire il voto “30 e Lode” è necessario che lo studente sostenga la prova orale.
Programma del corso
Elementi di topologia della retta reale. Richiami sulle funzioni reali di variabile reale. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Funzioni definite a tratti. Limiti di funzione. Metodi per il calcolo dei limiti. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Regole di derivazione per la somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di funzioni. Teorema di de l'Hospital. Uso delle derivate per lo studio degli intervalli di monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore al primo. Uso delle derivate per lo studio degli intervalli di concavità e convessità di una funzione. Studio di funzione. Approssimazione lineare e quadratica di una funzione. Punti di massimo e di minimo locale. Punti stazionari. Condizioni necessarie del primo ordine per punti di massimo e di minimo. Condizioni sufficienti del primo ordine per punti di massimo e di minimo. Calcolo dei punti di massimo e di minimo di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato. Funzioni reali di due variabili reali. Insieme di definizione. Grafico di una funzione. Insiemi di livello. Distanza. Funzioni continue. Derivate parziali. Approssimazione lineare di una funzione di due variabili. Derivate parziali di ordine superiore al primo. Elementi di ottimizzazione per funzioni di due variabili. Matrici. Matrici quadrate e traccia. Somma di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Prodotto di matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Matrici diagonali e matrice identità. Inversa di una matrice quadrata. Trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Determinante di una matrice quadrata. Matrici singolari. Matrice dei cofattori e matrice aggiunta. Condizioni per l'invertibilità di una matrice.