Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Calcolo differenziale. Introduzione alle funzioni di più variabili reali. Matrici e algebra delle matrici.
K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal. Metodi Matematici per l’Economia (Quinta Edizione). Pearson, 2021.
Ulteriore materiale didattico sarà fornito dal docente.
Obiettivi Formativi
L'insegnamento si propone di fornire alcuni strumenti matematici di base utili per la comprensione di semplici modelli economici che utilizzano funzioni di una variabile reale e di due variabili reali. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i concetti matematici presentati, dovrà essere in grado di comprendere ed utilizzare in modo appropriato il formalismo e la sintassi ad essi relativi e dovrà essere capace di risolvere esercizi e problemi.
Prerequisiti
Elementi di teoria degli insiemi. Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali. Numeri primi. Fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Calcolo di percentuali. Numeri reali, operazioni fra numeri reali, ordinamento, rappresentazione geometrica, intervalli. Radici e valore assoluto. Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Quadrato e cubo di un binomio. Prodotti notevoli. Fattorizzazione di semplici polinomi. Espressioni razionali. Somma e prodotto di espressioni razionali. Identità. Equazioni e soluzioni di una equazione. Disequazioni e soluzioni di una disequazione. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con espressioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Sistemi di equazioni e disequazioni. Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Teorema di Pitagora. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Equazione della parabola. Equazione della circonferenza. Funzioni reali di variabile reale. Dominio di una funzione. Grafico di una funzione. Immagine di una funzione. Funzioni monotone, funzioni strettamente monotone. Punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Valore massimo e valore minimo di una funzione. Funzioni concave e funzioni convesse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzioni potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmo. Funzioni definite a tratti. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive. Funzione inversa di una funzione iniettiva.
Metodi Didattici
Lezioni frontali. La durata del corso è di 12 settimane. Ogni settimana saranno svolte due lezioni
Altre Informazioni
Questo insegnamento ha una pagina internet sulla piattaforma Moodle dell'Università degli Studi di Firenze. Tale pagina contiene ulteriori informazioni sul corso
Modalità di verifica apprendimento
La prova d’esame consiste in una prova scritta. Durante lo svolgimento della prova scritta non è consentito l’utilizzo di calcolatrici, appunti o libri. La prova scritta ha una durata di 105 minuti ed è costituita da un numero variabile di esercizi volti a verificare le conoscenze acquisite relativamente ai concetti matematici e ai teoremi oggetto del corso, la comprensione e l'utilizzo del formalismo e della sintassi relativi ai concetti studiati, la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi. A ciascun esercizio è associato un punteggio, per un totale di 40 punti.
Se il punteggio ottenuto è minore o uguale a 17 punti la prova scritta risulta insufficiente e la/lo studente è respinta/o.
Se il punteggio ottenuto è maggiore o uguale a 18 punti la prova scritta è sufficiente e la/lo studente è promossa/o. Il voto finale è determinato secondo il seguente schema che descrive come convertire il punteggio espresso in quarantesimi in un voto espresso in trentesimi:
18 punti corrispondono ad un voto di 18/30,
19 punti e 20 punti corrispondono ad un voto di 19/30,
21 punti corrispondono ad un voto di 20/30,
22 punti e 23 punti corrispondono ad un voto di 21/30,
24 punti corrispondono ad un voto di 22/30,
25 punti e 26 punti corrispondono ad un voto di 23/30,
27 punti corrispondono ad un voto di 24/30,
28 punti e 29 punti corrispondono ad un voto di 25/30,
30 punti corrispondono ad un voto di 26/30,
31 punti e 32 punti corrispondono ad un voto di 27/30,
33 punti corrispondono ad un voto di 28/30,
34 punti e 35 punti corrispondono ad un voto di 29/30,
36 punti, 37 punti e 38 punti corrispondono ad un voto di 30/30,
39 punti e 40 punti corrispondono ad un voto di 30 e lode.
Programma del corso
Elementi di topologia della retta reale. Richiami sulle funzioni reali di variabile reale. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni. Limiti di funzione. Metodi per il calcolo dei limiti. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Derivata di una funzione. Retta tangente al grafico di una funzione. Regole di derivazione per la somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di funzioni. Teorema di de l'Hospital. Derivate per lo studio degli intervalli di monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore al primo. Derivate per lo studio degli intervalli di concavità e convessità di una funzione. Studio di funzione. Approssimazione lineare e quadratica di una funzione. Punti di massimo locale e di minimo locale. Punti stazionari. Condizioni necessarie del primo ordine per punti di massimo e di minimo. Condizioni sufficienti del primo ordine per punti di massimo e di minimo. Calcolo dei punti di massimo e di minimo di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato. Funzioni reali di due variabili reali. Insieme di definizione. Grafico di una funzione di due variabili. Insiemi di livello. Funzioni continue. Derivate parziali. Approssimazione lineare di una funzione di due variabili. Derivate parziali di ordine superiore al primo. Elementi di ottimizzazione per funzioni di due variabili. Matrici. Matrici quadrate e traccia. Somma di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Prodotto di matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Matrici diagonali e matrice identità. Inversa di una matrice quadrata. Trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Determinante di una matrice quadrata. Matrici singolari. Matrice dei cofattori e matrice aggiunta. Condizioni per l'invertibilità di una matrice.